Analysis 1 - download pdf or read online

By Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

ISBN-10: 3540412824

ISBN-13: 9783540412823

ISBN-10: 3642978908

ISBN-13: 9783642978906

Dieses nunmehr in five. Auflage erscheinende Lehrbuch präsentiert in bereits bewährter Weise den Kanon der research einer Veränderlichen. Durch die zahlreichen Beispiele und mit Lösungen versehenen Übungsaufgaben eignet sich diese Darstellung vorzüglich als begleitende Literatur zu einer Vorlesung, zum Selbststudium, sowie zur Prüfungsvorbereitung für Studenten der Mathematik, Physik, Informatik und der Wirtschaftswissenschaften. Die vielen historischen Anmerkungen und eingestreuten Perlen der klassischen research geben diesem Lehrbuch seinen besonderen Reiz.

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Der Wertebereich von [ ] ist die Menge Z. ]R 2 o -1 K. 1 Grundbegriffe 29 Eine Funktion f : X -+ 1R auf einer Menge X C 1R heilSt monoton wachsend bzw. fallend, wenn fUr alle Paare xl, x2 E X mit Xl < X2 die Ungleichung f(Xl) S f(X2) bzw. f(xd ~ f(X2) gilt; ferner streng monoton wachsend bzw. fallend, wenn sogar f(Xl) < f(X2) bzw. f(xd > f(X2) gilt. Zum Beispiel ist die GaulS-Klammer [ 1 monoton wachsend, aber nicht streng. Komplexwertige Funktionen deutet man oft geometrisch als Abbildungen; beispielsweise f : C -+ C mit f(z) = az, a E C', als Drehstreckung.

Wir setzen Izl = 1 + x, wobei x > 0 ist. Fur jedes n > 2k ergibt dann die Binomialentwicklung (l+x) n ( n ) k+l _ n(n - 1)··· (n - k) k+1 (k+l)! x > k+l x nk+ 1 x k+l. ' fUr diese n gilt also Damit folgt zn < E: fur alle n> N:= max {2k+l(k+l)! 2 • 1 } "i,2k . Rechenregeln Regel I: Fur die Folgen (an) und (b n ) gelte an -+ a und bn -+ b. Dann gilt: a) an + bn -+ a + b, b) an' bn -+ a . b. an a c) 1st b =I- 0, so sind fast aile bn =I- 0, und es gilt: bn -+ b' o 44 5 Folgen Beweis: a) Zu gegebenem c > 0 wahlen wir Zahlen N' und Nil so, daR Ian - al < c/2 fUr aile n > N' bzw.

Ungsregel: Zur Folge (an) gebe es konvergente Folgen (An) und (Bn) mit An :::; an :::; Bn fur fast alle n und mit lim An = lim Bn. Dann konvergiert auch (an), und es gilt lim an = lim An. Beispiele: 1. Fur jedes (rationale) s > 0 gilt \Y1i" -+ 1. Mit einer naturlichen Zahl k ~ s gilt die EinschlieRung Aus dieser folgt die Behauptung wegen "\Ink -+ 1. 2. Fur a, b ~ 0 gilt ~an + bn -+ max {a, b}. 1:::; \Y1i" < "\Ink. Es sei etwa b ~ a; man hat dann die EinschlieRung b:::; ~an Aus dieser folgt die Behauptung wegen \Y2 -+ 1.

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Analysis 1 by Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)


by Michael
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